середа, 24 червня 2015 р.

Середнє арифметико-геометричне

Середнє арифметико-геометричне — це спільна границя двох послідовностей, середньої арифметичної та середньої геометричної двох заданих чисел a та b.

Доведення[ред. • ред. код]

Нехай нам задано два додатніх числа a та b, причому (a > b). Складемо їх середнє арифметичне та середнє геометричне.
a_1=\tfrac{a+b}{2}, \qquad b_1=\sqrt{ab}
Відомо, що перше середнє більше за друге:
\tfrac{a+b}{2} - \sqrt{ab} = \tfrac{1}{2}(a-2\sqrt{ab}+b)=\tfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{2} > 0
В той же час, вони містяться між заданими числами:
\ a > a_1 > b_1 > b
Якщо числа a_n та b_n вже визначені, то a_{n+1} та b_{n+1} визначаються за формулами:
a_{n+1}=\tfrac{a_n + b_n}{2}, \qquad b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}
і, як і вище,  a_n > a_{n+1} > b_{n+1} > b_n
Таким чином складаються дві варіанти a_n та b_n, перша з яких є спадною, а інша зростаючою (на зустріч одна одній). В той же час
\ a > a_n > b_n > b
Так що обидві варіанти обмежені, і відповідно, обидві прямують до кінцевих границь.
\alpha = \lim a_n, \qquad \beta = \lim b_n
Якщо в рівнянні
a_{n+1} = \tfrac{a_n + b_n}{2}
перейти до границь, то отримаємо
\alpha = \tfrac{\alpha + \beta}{2}
звідкіля
\ \alpha = \beta
Таким чином, обидві послідовності прямують до спільної границі \mu(a,b)
Опубліковано о

Немає коментарів:

Дописати коментар

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)