НЕЛІНІЙНІ
НЕРІВНОСТІ
З ДЕКІЛЬКОМА ЗМІННИМИ
Довести.
1. ap+bp < cp, якщо p>2,a>0, b>0, c>0, a2+b2=c2.
2. cp < ap+bp, якщо p<2, a>0, b>0, c>0, a2+b2=c2.
3. (a+b)2/3 <
a2/3+b2/3, якщо a>0, b>0.
4. a+b+c ≤ ab/c+bc/a+ca/b,
якщо a>0, b>0, c>0.
5. (a0,5+b0,5 +c0,5)a0,5b0,5c0,5≤ a2+b2 +c2 , якщо a ≥0, b ≥0, c ≥0.
6. 5a0,5b0,5 +5b0,5c0,5 +7a0,5c0,5≤ 7a+4b+7c, якщо a ≥0, b ≥0, c ≥0.
7. 2a2b2c2(20,5ab
+ 20,5ac+cb) ≤ 16a8+b8 +c8.
8. (a+b)/(a2+b2)+(b+c)/(b2+c2)+(a+c)/(a2+c2)≤1/a+1/b+1/c,
якщо a>0, b>0, c>0.
9. 9/a+b+c ≤ 2/(a+b) + 2/(b+c) +2/(a+c), якщо a>0, b>0,
c>0.
10. a< 2a3+2a2+1, якщо a≥0.
11. a2 -2a0,5
< 2+a3, якщо a≥0.
12. 1/2 ≤ 1/(a+1) + 1/(a+2) +1/(a+3) + … + 1/2a , якщо a- натуральне
число.
13. 1/9 +1/25 + …+1/(2a+2)2 < 1/4, якщо a- натуральне число.
14. b<ac+c/(c-1), якщо a0,5 +1≥b, c>1.
15. a0,5b0,5 +c0,5d0,5
≤(a+c)(b+d)0,5, якщо a ≥0, b ≥0, c ≥0, d ≥0.
16. 21/9
<a0,5/(b+c)0,5+b0,5/(a+c)0,5+b0,5/(a+c)0,5,
якщо a>0, b>0, c>0.
17. (4a+1)0,5+(4b+1)0,5+(4c+1)0,5<5,
якщо a>0, b>0, c>0, a+b+c=1.
18. 4lnx ≤ x2-1/x, якщо x>1.
19. 2ln(x+(x2+1)0,5)
≤ ex -
e-x, якщо x ≥0, e ®(1+1/x)x, x®oo.
20. (a+b)(a-b) ≤ a2+b2.
21.1/2<sina/(1+sina) +cosa/(1+cosa)<6/7;
22. 2/3<sin2a/(1+cos2a) +cos2a/(1+sin2a)<1;
23. -1≤ sin3a+cos3a≤ 1,
якщо a- дійсне число.
24. 0,5 ≤ sin4a+cos4a≤ 1,
якщо a- дійсне число.
25. -1≤ sin5a+cos5a≤ 1,
якщо a- дійсне число.
26. 0,25≤ sin6a+cos6a≤1,
якщо a- дійсне число.
27. 0,125≤ sin8a+cos8a≤1, якщо a- дійсне
число.
28. 0,0625≤ sin10a+cos10a≤1, якщо a- дійсне
число.
29. -1≤ sin2n-1a+cos2n-1a≤ 1, якщо n - натуральне число.
30. 1/2n-1≤ sin2na+cos2na≤ 1, якщо n - натуральне число.
31. sin2a +4cos2a -2sin2a -3sina +4cosa +2 ≥ 0, якщо a - дійсне
число.
32. 2sin2a-
20,5sin2a + 20,5cos2a+3 ≥ 0, якщо a - дійсне
число.
33. cos4a- 4sin2a ≥ 2 sin2acosa, якщо a - дійсне
число.
34. 6a2b2 ≤ a4 +2a3b +2ab 3 + b4 , якщо a ≥0, b ≥0.
35. a4 -2a3b +
2a2b2 -2ab3 + b4≥0, якщо a ≥0, b ≥0.
36. 2sin2a ≥ 2sin2a-1, якщо a - дійсне
число.
37. sinacosbcosc + cosasinbsinc ≤ 1, якщо a, b, c - дійснi числa.
38. (sin(cos(a) ≤ (cos(sin(a)) , якщо a - дійсне
число.
39. a2+3b2 +6c2 +2ab -2ac -6abc > 0, якщо a2+b2+c2≠0.
40. |a+b| ≥ 2 ,
|a+1/a| ≥ 2 , якщо |ab|=1, a, b - дійснi числa.
41. |a/b+b/a| ≥ 2, якщо a, b - дійснi числa.
42. a2+b2 ≥ 2ab, якщо a, b - дійснi числa.
43. a1+a2+a3+a4+a5+…+am ≥ m, якщо a1∙a2∙a3∙a4∙a5∙…∙am =1
44. ab+bc+ac ≤ a2+b2+c2, якщо a, b, c - дійснi числa.
45. 3≤ a/b+b/c+c/a , якщо a, b, c – додатні
дійснi числa.
46. a/b+b/c+c/a ≤ -3, якщо a, b, c – від’ємні дійснi числa.
47. c/a <
(c+d)/(a+b) < b/d , якщо a >0, b >0, c >0, d >0.
48. (ab)0,5+1≤ (a+1)0,5(b+1)0,5
≤ 1+(ab)0,5/min{a,b}, якщо a >0, b >0,
49. (abc)1/3+1≤ (a+1)1/3(b+1)1/3(c+1)1/3≤ 1+(abc) 1/3/min{a,b,c}, якщо a >0, b >0, c >0.
50. 2/(1/a+1/b)
≤ (abc)1/2 ≤ (a+b)/2 ≤ ((a2+b2)/2
)0,5≤ ((ak+bk)/2)1/k
, якщо a >0, b >0.
51. 3/(1/a+1/b+1/c)
≤ (abc)1/3 ≤ (a+b+c)/3 ≤ ((a2+b2+c2)/3 )0,5≤ ((ak+bk+ck)/3
)1/k
, якщо a >0, b >0, c >0.
52. 3abc
≤ a3+b3+c3
, якщо a +b + c >0.
53. -20,5 ≤ sina+cosa ≤ 20,5, якщо a- дійсне
число.
54. (1+1/a)a
> (1+1/aa) , якщо 0<a <1, a>2.
55. (1+1/a)a < (1+1/aa) , якщо 1<a <2.
56.
ln(1+a)<a, , якщо a >0.
57. 2a/(a+2) < ln(1+a)<a, якщо a >0.
58. 2abln(b/a)< b2 – a2, якщо 0<a <b.
59. 2 ln(a)<a2-1, якщо a >1.
60. ln(1+a)/ln(a) < ln(a)/ln(a-1) , якщо a >2.
61. Міні-максні подвійні нерівності Вінницького
для
модуля різниці двох дійсних додатних чисел
Нехай а та b, с - дійсні додатні числа, при
цьому c >1.
Довести, що функція модуля різниці двох дійсних додатних чисел
V(a, b) = max{a;b}-min{a;b} =|a-b|
має
властивості:
1o. 0 < max{a;b}-min{a;b} =|a-b| < min{a;b}/с,
якщо (1-1/c)max{a;b}
< min{a;b} < max{a;b};
c>1
2o. min{a;b}/с < max{a;b}-min{a;b} =|a-b|< min{a;b},
якщо (1/2)max{a;b} < min{a;b} < (1-1/c)max{a;b}, та c>2.
3o. min{a;b} < max{a;b}-min{a;b} =|a-b|< 0,5(max{a;b}+min{a;b})=0,5(a+b),
якщо max{a;b}/3< min{a;b} <0,5max{a;b};
4o. 0,5(max{a;b}+min{a;b}) =0,5(a+b) < max{a;b}-min{a;b} =|a-b| < max{a;b},
якщо 0< min{a;b} <
max{a;b}/3;
5o. (1-1/c)max{a;b} < max{a;b}-min{a;b} =|a-b|< max{a;b},
якщо 0< min{a;b} < max{a;b}/c та c>1.
