Перша заочна Вінницька міська олімпіада з математики

Перша заочна Вінницька міська олімпіада з математики

для учнів 4–6 класів

„Січнева сесія -2017”

4 клас

1. Вася поклав тринадцять гривен у перший гаманець, якого заховав у другий гаманець, тепер у другому гаманці стало у три разі більше грошей, ніж у першому. Порахуйте, скільки було спочатку грошей у другому гаманці?

2. а) Скільки є п'ятицифрових чисел, які діляться на 5? б) Якими цифрами не може закінчуватися такі суми: 1+2=…; 1+2+3=…;  1+2+3+4=…; 1+2+3+4+5=…;  і так далі. в)   ) Якими цифрами не може закінчуватися такі суми: 1+3=…; 1+3+5=…;  1+3+5+7=…; 1+3+5+7+9=…;  і так далі. 

3. На подвір'ї було 3 курки, стільки ж індиків; качок менше, ніж індиків, але більше, ніж гусей. Скільки на подвір'ї всіх птахів?  (Вкажи більше ніж одну відповідь).

4.Скільки днів у році, якщо один із місяців розпочався і закінчився у четвер?

5. Які     цифри     зашифровані     буквами:     аа + b = bсс, аа +  аb= ссb? Скільки розв’язків має задач?

6. Обгрунтуйте, що коли сума двох натуральних чисел є число непарне, то добуток цих чисел обов'язково буде парним.

7. Скількома нулями закінчується добуток усіх натураль­них чисел від 1 до 30?

8. Допиши два числа, яких не дописав попередній учень, якщо числа в ряду дібрані за певним правилом. Обгрунтуйте, чому саме ці числа можна записати:

а) 10, 8, 11, 9, 12, 10, 13, ?, ?;  б) 4, 7, 12, 21, 36, ?, ?; в) 2, 3, 5, 9, ?, 33, ?; г) 1, 5, 6, 11, ?, 28, ?.

9. Якщо від двоцифрового числа відняти 3, то різниця по­ділиться на 3. Якщо до цього числа додати 4, то сума ділиться на 4. Якщо від цього ж числа відняти 5, то і ця різниця теж ділиться на 5. Знайди найменше таке число. Чи можна твердити, що шукане число ділиться на 15?

10. Бабуся розвела гусей і кролів. У всіх них разом 28 голів і 68 лапки. Скільки гусей і скільки кролів має бабуся?

11. Для школи купили табуретки. Якщо в кожну кімнату поставити три табуретки, то шість табуреток зайві. Якщо в кожну кімнату поставити чотири табуретки, то двох стільців не вистачить. Скільки кімнат у школі і скільки купили табуреток?

12. Якщо кожний хлопчик купить пиріжок, а кожна дівчин­ка — булочку, то вони витратять разом на одну копійку менше, ніж якби кожний хлопчик купив булочку, а кожна дівчинка — пиріжок. Відомо, що хлопчиків більше, ніж дівчинок. На скільки?

Перша заочна Вінницька міська олімпіада з математики

для учнів 4–6 класів

„Січнева сесія -2017”

5 клас

1.Сума двох чисел більша за одне з них на 7 і більша за друге на 6. Чому дорівнює ця сума?

2.У двох класних кімнатах 68 учнів. Коли з першого класу вийшло 20 учнів, а з другого 30 учнів, то в цих кімнатах за­ лишилося порівну учнів. Скільки учнів у кожній кімнаті?

3.У касира є купюри по 5 грн. і 10 грн. Скількома способами він може дати здачу 50 грн?

4.Бабуся розвела гусей і кролів. У всіх них разом 30 голів і 90 лапок. Скільки гусей і скільки кролів має бабуся?

5.В ящиках лежать 40 гумових м'ячиків однакових роз­мірів і серед них 10 зелених, 10 червоних, 10 синіх та 10  білих. У темноті виймають м'ячики із ящика.  Яку найменшу кількість м'ячиків слід взяти, щоб серед них обов'язково було 8 однаково пофарбованих?

6.Є  три   посудини:   в  одну  входить  8 л,  у  другу − 5 л, а в третю − 3 л. Перша посудина наповнена водою, а дві інші − порожні. Як за допомогою цих посудин відміряти 1 л води? Як від­ міряти 4 л води?

7.У підвалі стоять 7 повних бочок, 7 бочок, заповнених наполовину і 7 порожніх бочок. Як розподілити ці бочки між трьо­ма вантажними автомобілями, щоб на кожному з них було 7 бочок і на всіх автомобілях був однаковий вантаж?

8.У басейні,  горизонтальне дно  якого  має  площу   1 га, міститься 1 000 000 л води. Чи можна в цьому басейні проводити змагання з плавання?

9. Пофарбований куб із стороною 12 см розрізали на кубики із стороною 2 см. Скільки кубиків мають пофарбовані 3 грані, скільки  - дві,  і у скількох лише одна грань пофарбована?  Скільки кубиків не пофарбованих?

10. Під час опитування 100 учнів з'ясувалося, що 48 з них виписують журнал «Барвінок», 34 учні — «Соняшник», а 27 виписують обидва ці журнали. «Юний технік» виписало 20 чоловік, і усі вони не виписали жодного іншого журналу. Скільки з опита­них учнів зовсім не виписують журналів?

 11.  Діжки пального вистачає для роботи першого двигуна на 10 годин, а для другого двигуна на 15 годин. Яка частина пального залишилась у діжці після  4 годин роботи першого двигуна і 5 годин роботи другого двигуна? На скільки часу  вистачить діжки пального, якщо двигуни працюватимуть одночасно?

12. Четверо товаришів купили разом човен. Перший вніс половину суми, внесеної іншими; другий - третину суми, внесеної іншими; третій - чверть суми, внесеної іншими, а четвертий вніс 130 карбованців. Скільки коштує човен і скільки вніс кожний?

Перша заочна Вінницька міська олімпіада з математики

для учнів 4–6 класів

„Січнева сесія -2017”

6 клас

1.На столі лежать 5 різних ключів, кожен з яких підходить лише до однієї з п'яти валіз. Яку найменшу кількість проб треба зробити, щоб знайти для кожної валізи відповідний ключ?

2.У жорстокому бою 70 із 100 піратів  втратили  око, 75 - одне вухо, 80 одержали  поранення в руку і у 85 було поранено ногу. Яка мінімальна кількість могла бути тих, хто одержав одночасно всі чотири поранення?

3.У числі 3141592653589793 закресліть 7 цифр так, щоб залишилося якомога більше число.

4.Чотири коти - Вася, Пушок, Базіліо та Леопольд - полювали на мишей. Пушок з Леопольдом піймали стільки ж мишей, скільки Базіліо разом з Васею. Вася піймав мишей більше, ніж Базіліо, але Вася з Леопольдом піймали мишей менше, ніж Пущок з Базіліо. Скільки  мишей піймав кожний кіт, якщо Пушок піймав 3 миші ?

5. Коля заплатив 12 коп. за зошит, два олівці і гумку, а Сашко - 27 коп. за 2 зошити,   3 олівці та 3 гумки. Скільки заплатив Сергій за 2 зошити, 5 олівців та гумку ?

6. Із восьми зовні однакових монет 7 - золотих, а одна - не золота, дещо легша за інші. Потрібно за допомогою двох зважувань на тетезах без гирь знайти незолоту монету.

7. Знайдіть найменше число, яке при діленні на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 дає в остачі 1.

8. Є двi купки камінців: в одній - 30, в другій - 20. За хід дозволяється брати будь-яку кількість камінців, але тільки з однієї купки. Програє той, кому немає  що брати.  Хто забезпечить собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає?

9. Розв’язати ребуси, в якому різним буквам відповідають різні цифри, а однаковим буквам відповідають однакові цифри:  КНИГА+КНИГА+КНИГА=НАУКА.

10. Аркуш паперу розрізали на 4 частини, потім якусь з цих частин розрізали знову на 4 частин і т.д. Коли підрахували загальну кількість клаптиків, то виявилось їx 66 чи 67. Не перераховуючи, уточніть відповідь.

11. В таблиці 3х3 у верхніх кутових клітинках зліва направо поставили цифри 1 та 2. Розмістити в порожніх клітинках таблиці числа від 3 до 9 так, щоб виконувались дві такі умови: 1) сума чотирьох чисел в будь-якому квадраті 2х2 була однакова; 2) число записане в центрі таблиці було - найбільш можливим.

12.В країні Анчурії в обігу знаходяться купюри чотирьох вартостей: 1 долар, 10 доларів, 100 доларів, 1000 доларів. Чи можна відрахувати мільйон доларів так, щоб одержати рівно півмільйона ку­пюр?

 Перша заочна Вінницька міська олімпіада з математики

для учнів 4–6 класів

„Лютнева сесія -2017”

4 клас

1. В магазин привезли 25 ящиків з яблуками трьох   сортів, причому в кожному ящику містились яблука одного сорту. Чи можна знайти 9 ящиків з яблуками одного сорту?

2. Скільки існує чотиризначних чисел, які діляться на 45, а дві середні цифри у них 97?

3. До числа 15 припишіть зліва та справа по одній цифрі так, щоб отримане число ділилось на 15.

4. Знайти  найменше натуральне число,  що ділиться  на  36,  в запису якого зустрічаються   всі  цифри.

5. Якби    учень  купив 8 зошитів, то у нього залишилось би  30 коп., а на 12 - зошитів   у нього не вистачить 1,5 грн. Скільки грошей було у учня?

6. На складі є цвяхи в ящиках по 16 кг, 17 кг, 40 кг. Чи може працівник складу відпустити 100 кг цвяхів, не відкриваючи ящики ?

7. В кімнаті знаходиться 14 канцелярських столів з однією, двома та трьома шухлядами. Всього в столах 25 шухляд. Столів з однією шухлядою стільки ж, скільки з двома та трьома разом. Скільки столів з трьома шухлядами разом ?

8. Знайдіть закономірність утворення ряду і запишіть три наступні числа ряду : 35, 34, 32, 29, 25, ...      

9. Приїхало 100 туристів. Із них 10 чоловік не знали ні німецької мови, ні французької, 75 чоловік знали німецьку мову, а 83 - французьку. Скільки туристів знали французьку   і німецьку мову?

10. Михайло записує число. Він використовує лише цифри 1,2,3,4,5 і слідує таким правилам: 1) будь-які дві сусідні цифри даного числа відрізняються між собою; 2)всі двоцифрові числа , що складаються з любих двох сусідніх цифр даного числа записаних у порядку   зліва - направо, відрізняються між собою. Наприклад, число 123134252 задовольняє умовам , а число 12315412 - ні, так як число 12 присутнє два рази в записі числа. З якої максимальної кількості цифр може складатися запис числа Михайло?

11. Гра починається з числа 100. За хід дозволяється відняти від наявного числа будь-яку з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Виграє той, хто одержить нуль. Хто з двох гравців зможе забезпечити собі перемогу? Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

12. Щоб  перенумерувати сторінки книги вистачило 1164 цифри. Скільки в цій книзі сторінок?

Перша заочна Вінницька міська олімпіада з математики

для учнів 4–6 класів

„Лютнева сесія -2017”

5 клас

1. За круглим столом сиділи 6 осіб: лицарі та брехуни. Лицарі завжди кажуть правду, брехуни завжди брешуть. На питання: «Хто твій сусід справа?» кожен відповів: «Брехун». Скільки брехунів було за столом? Відповідь обґрунтувати.

2. Периметр квадрата збільшився на 10%. На скільки відсотків збільшиться площа квадрата?

3. У звичайному наборі доміно 28 кісточок. Скільки кісточок містило б доміно, у якого кількості очок, зазначені на кісточках, змінювалися б не від 0 до 6, а від 0 до 12?

4.  У грі беруть участь 90 дітей. У кожного на грудях табличка з номером від 10 до 99 включно. Яка сума перших цифр у всіх номерах?

5. Скількома способами число 4 можна подати у вигляді суми трьох цілих чисел, якщо варіанти, які відрізняються порядком доданків, вважати різними, і серед доданків можуть бути нулі?

6. На дискотеці відпочивали 24 учні з одного класу. З Ганною танцювали сім хлопців, з Катрусею — вісім, з Надійкою — дев'ять і так далі до Люби, з якою танцювали всі хлопці. Скільки хлопців було на дискотеці?

7. Антону подарували терези, і він почав зважувати свої іграшки. Машину зрівноважили м'яч і два кубики, а машину з кубиком — два м'ячі. Усі м'ячі однакові і кубики теж. Скільки кубиків урів­новажують машину?

8. Ганна, Катруся, Віра, Надія, Люба стоять у черзі в театральну касу. Якби Ганна стояла посередині черги, то вона опинилася б між Катрусею і Любою, а якби Ганна стала в кінець черги, то по­руч з нею могла бути Надія. Але Ганна встала пе­ред усіма своїми подругами. Хто стоїть третьою?

9. Четверо друзів — Олекса, Богдан, Володимир, Гриць змагались у перетягуванні канату. Богдан з Грицем легко перетягнули Олексу з Володимиром. Але коли Богдан став у парі з Олексою, то перемога проти  Володимира з Грицем дісталася їм уже не так легко. А коли Богдан з Володимиром опинилися проти Олекси з Грицем, то жодна з цих пар не могла подолати іншу. Хто з друзів найдужчий?

10. Кілограм пломбіру на 4 грн. дорожчий від кілограма шоколадного морозива. Сергій і Петро замовили по 300 г морозива, причому Сергій замовив пломбіру вдвічі більше, ніж шоколадного морозива, а в Петра того й іншого порівну. Чия порція дорожча і на скільки?

11. 20 фішок розташовано в ряд. Два гравці по черзі забирають довільні одну або дві фішки, які стоять поруч, переможцем вважається той, хто зробить останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?  Вкажіть виграшну стратегію гравця, який перемагає.

12. Вказати закономірність утворення букв. Продовжте послідовності на три букви:

a)                 М, В, З, М, …        б)С, Л, Б, К, …     в)О, Д, Т, Ч, …

Перша заочна Вінницька міська олімпіада з математики

для учнів 4–6 класів

„Лютнева сесія -2017”

6 клас

1. Як від шматка матерії в 2/3 метра відрізати півметра, не маю під рукою метра?

2. Дід привіз на базар огірки. Коли він почав рахувати їх десятками, то не вистачало двох огірків до повного  числа десятків. Коли він став рахувати по 12(дюжинами), то залишилось 8 огірків. Скільки огірків привіз дід на базар, якщо їх було більше 300, але менше 400?

3. Скільки разів протягом доби годинникова та хвилинна стрілки співпадають?

4. Знайти два числа, щоб їх сума була втричі більше їх різниці і вдвічі менше їх добутку.

5. Батько доросліше сина в 4 рази. Через 20 років він буде доросліше сина в 2 рази. Скільки зараз  років батьку?

6. Було 5 аркушів паперу. Деякі з них розрізали на 5 кусків кожний, потім деякі з одержаних кусків знову розрізали на 5 кусків і так зробили декілька разів. Чи могло в результаті виконання таких дій одержатись 1975 кусків?

7. На дошці написано числа 1, 2, 3, ..., 19, 20. До­зволяється стерти будь-які два числа а і b і замість них написати чис­ло (a + b - 1). Яке число може залишитись на дошці після 19 таких операцій?

8. На дошці записано числа 1,2, ..., 20. Дозволяєть­ся стерти будь-які два числа а і b і замінити їх на число аb + а + b. Яке число може залишитись на дошці після 19 таких операцій?

9. На дошці написано числа 1, 2, 3, ...,1989. Дозво­ляється стерти будь-які два числа і написати замість них різницю. Чи можна досягти того, щоб на дошці всі числа дорівнювали нулю?

10. В одній вершині куба написали число 1, в інших нулі. Можна додавати по 1 до чисел, які записані на кінцях довільного ребра. Чи можна добитися того, щоб всі числа ділились на 3 ?

11. В кутку квадрата 3x3 стоїть знак мінус, в усіх інших - плюси. Можна змінити всі знаки в довільному рядку чи довільному стовпчику на протилежні. Чи можна одержати таблицю лише з одних плюсів?

12. Круг поділили на 6 секторів, в кожному лежить по цукерці. За один хід одну цукерку можна перемістити в сусідній сектор. Чи можна зібрати всі цукерки в одному секторі рівно за 20 ходів?

Перша заочна Вінницька міська олімпіада з математики

для учнів 4–6 класів

„Березнева сесія -2017”

4 клас

1.У виразі 1 2 3 4 5 6 = 7 9  розставте між деякими із цифр знаки чотирьох арифметичних дій  та дужки таким чином, щоб стало вірно.

2. Знайти у копійках суму трьох чисел:  половини гривні, третини гривні і півтретини гривні.

3. Знайдіть неповну частку та остачу при діленні числа 2015 на 99. Чи вірно, що ця неповна частка більша, ніж п’ята частина від ста?

4. Знайдіть останню цифру числа такого добутку першого числа 5*5*…*5(усього 2015 множників) на друге число 1+2+3+4+…..+2013+2014+2015.

Відповідь обґрунтуйте.  

5. Викладіть із п’яти сірничків цифру п’ять. Тепер викладіть із тринадцяти сірничків вираз 5 – 5 =. Після знаку дорівнює із 17 сірників викладіть трицифрове число 648. (на цифру 6 використайте 6 сірників, на цифру вісім використайте 7 сірників). Після того, як викладена неправильна рівність 5 - 5 = 648, перекладіть 3 сірники співвідношенні, щоб вийшла правильна рівність.

6. Бабуся підрахувала, що коли вона дасть кожному внуку по 6 пряників, то не виста­чить 8, а якщо по 4, то залишиться 6. Скільки внуків у бабусі? Скільки пряників?

7. Є по 4 фігурки типу I, T, O, Z та L. Кожна фігурка із чотирьох фігурок має чотири клітинки. Треба повністю покрити квадрат 8х8, використавши 16 із 20 заданих фігурок, при цьому фігурку кожного типу треба використати принаймні 1 раз.

8. Спекли круглий торт і розрізали на 60 рівних порцій.  Фрекен Бок з'їдає за хвилину  рівно дві порції, Малюк з'їдає за хвилину  рівно одну порцію, а Карлсон з'їдає за хвилину  рівно дванадцять порцій. За скільки секунд вони з'їдять два торти разом?

10. У Петі є три книги з математики, а у Васі – три книги. Скількома способами вони можуть обміняти дві книги одного на дві книги іншого?

11. Три винахідники отримали премію за свій винахід в pозмipi 1410 грн, причому другий отримав  третину  того, що отримав перший, та ще 60 грн, а третій отримав  третину грошей другого та ще 30 грн. Яку премію отримав кожний винахідник?

12. В ящику лежить 10 пар чорних рукавичок i 10 пар червоних рукавичок одного pозмipy. Скільки рукавичок треба взяти навмання з ящика, щоб серед них були: а) дві рукавички одного кольору; б) одна пара рукавичок одного кольору; в) одна пара рукавичок різних кольорів?

Перша заочна Вінницька міська олімпіада з математики

для учнів 4–6 класів

„Березнева сесія -2017”

5 клас

 1. У виразі 1 2 3 4 5 6 = 8 9  розставте між деякими із цифр знаки чотирьох арифметичних дій  та дужки таким чином, щоб стало вірно.

2. Знайдіть неповну частку та остачу при діленні числа 10000000 на 999. Чи вірно, що ця неповна частка більша, ніж десята частина від ста тисяч?

3.Знайдіть у копійках суму трьох чисел: 1)дванадцять разів по півтретини гривні; 2)п’ять разів по півтора від цілої гривні; 3)шістнадцять разів по півчверті гривні.

4. Сашко запросив Петрика в гості, сказав, що живе в 10-му парадному в квартирі № 333, а поверх сказати забув. Підходячи до дому Сашка, Петрик побачив, що дім дев’ятиповерховий. На який поверх йому слід піднятися? На кожному поверсі кількість квартир однакова, номери квартир в домі починаються з № 1.

5. П’ять футбольних команд провели турнір – кожна команда зіграла з кожною по одному разу. За перемогу нараховувалось 3 очки, за нічию – 1 очко, за поразку очки не нараховувались. Чотири команди набрали відповідно 1, 2, 5 та 7 очок. Скільки очок набрала п’ята команда?

6. Є по 25 фігурок типу T та квадратик 2х2, кожна фігурка із 25 фігурок має чотири клітинки. Треба повністю покрити квадрат 10х10 фігурками одного з типів. Які з фігурок підходять для виконання завдання? Відповідь обґрунтуйте.

7. Виразіть у копійках і з’ясуйте, що більше: половина шести пів третин  від шести гривен чи третина дванадцяти чвертей від чотирьох гривен?

8. Дев'ять однакових листівок коштують менше десяти рублів, а десять таких же листівок стоять більше одинадцяти рублів. Скільки коштує одна листівка? (Відомо, що одна листівка коштує ціле число копійок.)

9. Діти ділили яблука. Коли поча­ли роздавати по 7 яблук, то останній одержав 4 яблука, коли роздали по 8 яблука, то останній одержав 1 яблуко. Скільки було яблук і дітей?

10. У Петі є три книги з математики, а у Васі – чотири книги. Скількома способами вони можуть обміняти дві книги одного на дві книги іншого?

 11. Батько доросліше сина в 4 рази. Через 20 років він буде доросліше сина в 2 рази. Скільки зараз  років батьку?

12. Яку найменшу кількість карток Спортлото "6 із 49" потрібно купити, щоб на одній із них обов'язково було вгадано хоча б один но­мер?

Перша заочна Вінницька міська олімпіада з математики

для учнів 4–6 класів

„Березнева сесія -2017”

6 клас

 1. Знайдіть: а)останню цифру; б)передостанню цифру  числа 5²⁰¹³*(1+2+…+2014+2015).  Відповідь обґрунтуйте.

2. Доктор Айболить роздав чотирьом хворим тваринкам 2012 магічних пігулок. Носоріг одержав на дві більше, ніж крокодил, бегемот на дві більше, ніж носоріг, а слон – на дві більше, ніж бегемот. Скільки пігулок доведеться з’їсти слону?

3. У багатоповерхівці до квартир на першому поверсі веде 7 сходинок та між поверхами однакова кількість сходинок. Відомо, що в день, коли не було електрики та не працювали ліфти, Андрій на шляху до своєї квартири пройшов 95 сходинок, Богдан – 117 сходинок, Володя – 205 сходинок, Григорій – 249, Дмитро – 293 сходинки. Ярослав живе на останньому поверсі і пройшов аж 535 сходинок. На якому поверсі живе кожна дитина?

4. У виразі 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 розставте між деякими із цифр знаки чотирьох арифметичних дій  та дужки таким чином, щоб вийшло число 2013.

5. Є по 25 фігурок типу L та О, кожна фігурка із 25 фігурок має чотири клітинки. Треба повністю покрити квадрат 10х10 фігурками одного з типів. Які з фігурок підходять для виконання завдання? Відповідь обґрунтуйте.

6. Під час екскурсії група учнів мала переправитися через бухту. На бе­резі стояло кілька човнів. Якщо в кожний човен сяде по 6 чоловік, то для чотирьох учнів не вистачить місця, а якщо по 8, то один човен буде зайвий. Скільки було учнів і човнів?

7. Виразіть у копійках і з’ясуйте, що більше: 2013  разів по третині гривні чи двічі 671  півтора від цілої гривні?

8. Фрекен Бок з'їдає торт за півгодини, Малюк - за годину, а Карлсон - за 5 хвилин. За скільки секунд вони з'їдять три торти разом?

9.У шостому класі 40 учнів, при цьому 12 із них увечері п’ють чай, 28 -сидять в Інтернеті, а 5 - не роблять ні того, ні іншого, оскільки виконують письмові домашні завдання. Скільки учнів п'ють вечо­рами чай, сидячи в Інтернеті?

10. У Петі є три книги з математики, а у Васі – п’ять книг. Скількома способами вони можуть обміняти дві книги одного на дві книги іншого?

 11. Скільки існує різних прямокутників, довжи­ни сторін яких є цілими числами та периметр і площа яких виражаються однаковим числом?

12. О 12 годині годинна і хвилинна стрілки збігаються. Через яку найменшу кількість хвилин стрілки знову збігаються?

7-8 клас. Олімпіадні задачі з математики

7-8 клас  Олімпіадні задачі

1. На числовій прямій відмічено дві точки. Де розташовано їх середнє арифметичне?

2. Чи можна в клітках таблиці 5x5 записати числа так, щоб в кожному рядку сума чисел була додатньою, а в кожному стовпці  від’ємною.

3. Є дві купи каменів. Два гравці по черзі беруть будь-яку кількість каменів, але тільки з однієї купи. Виграє той, хто візьме останній камінь. Чи може хтось з них гарантовано виграти?

4. Доведіть, що добуток цифр будь-якого числа не більше його самого.

5. Побудуйте трикутник, якщо відомі всі його кути і периметр.

6. Чи існує така нескінченна послідовність з двох букв, що ніяка комбінація з декількох букв не повториться двічі підряд?

7. Кожну грань кубика розбили на чотири рівні квадрати і розфарбували ці квадрати в три кольори так, щоб квадрати, що мають загальну сторону, були пофарбовані в різні кольори. Доведіть, що в кожен колір пофарбовано 8 квадратів.

8. Чи можна розставити по колу 20 червоних і не скільки синіх фішок так, щоб в кожній крапці, діаметрально протилежній червоній фішці, стояла синя і
ніякі дві сині фішки не стояли поряд?

9. Чи можна який-небудь трикутник помістити всередину круга, радіус якого менше радіусу описаного біля цього трикутника кола?

10. Президент акціонерного суспільства «Не обдуриш – не продаси» оголосив на зборах акціонерів, що за кожних п'ять послідовних місяців витрату фірми перевищував дохід, а за весь рік дохід перевищила витрата. Чи повинні акціонери подати на нього до суду?

11. Мандрівник виходить з готелю о 3 годині дня і повертається о 9 годині вечора по тому ж маршруту. Відомо, що по рівних ділянках він йде із швидкістю 4 км/год, в гору  3 км/год, під гору  6 км/год. Знайдіть відстань, яку пройшов мандрівник, якщо він йшов без відпочинку.

12. Доведіть, що будь-які 100 точок на площині можна розбити на дві групи так, щоб ніяка пряма не відокремлювала одну групу від іншої.

13. Чи вірна наступна ознака рівності трикутників: по двох сторонах і медіані, проведеній до третьої сторони.

14. Коли я збігаю  по ескалатору станції  метро  «Шулявська», то встигаю налічити 100 сходинок, а коли біжу вниз по ескалатору, що йде вгору, налічую 300 сходинок. Скільки сходинок на нерухомому ескалаторі?

15. Вовк і вовченя, ведмідь і ведмежа, лис і лисеня вирішили переправитися з лівого берега річки на правий. У них був човен, в який поміщався будь-хто двоє з них. Як їм переправитися на інший берег, якщо не можна залишати дитинчат з чужими татами без свого?

16. У легенді про винахідника шахової гри мовиться, що на першу клітину дошки він просив покласти одне рисове зернятко, на другу  два, на третю  чотири і так далі, кожного разу подвоюючи кількість зерен. Виразите загальну кількість зерен на дошці простій формулою.

17. Вася рахує пальці від великого до мізинця, потім в зворотному порядку (кожен рахунок доводиться на інший палець), потім назад і так далі На який палець припаде рахунок 1990?

18. Доведіть нерівність: 1 – (1 – а)(1 – b)(1 – с) > с, якщо 0<а<b<с<1.

19. Три цілі числа зв'язано співвідношенням х² + у² = z². Доведіть, що х або у ділиться на 3.

20. Катер, пливучи вгору по річці, втратив під мостом пляшку. Виявивши втрату через 10 хвилин, він повернув назад і нагнав пляшку на відстані 1 км. від моста. Визначите швидкість річки.

21. Знайдіть безліч середин всіх відрізань, кінці яких лежать

а)        на даному півколі;

б)        на фігурі, що є об'єднанням діагоналей квадрата.

22. Якщо надрукувати всі числа від 1 до 1000, то скільки разів зустрінеться цифра 3?

23. Скільки чисел серед 1, 2, 3 ..., 1000 містять в своєму записі хоч би одну трійку?

24.      На шахівниці розставляють королів так, щоб вони били всі клітки. Яке найменше число королів? (Клітка, на якій коштує король, вважається битою.)

25.      Шестизначне число ділиться на 7. Доведіть, що, якщо останню його цифру переставити в початок, то отримане число теж ділитиметься на 7.

26.      Побудувати чотирикутник, знаючи всі його сторони і кут між двома протилежними сторонами.

27.      Запишіть число 100 у вигляді суми декількох натуральних чисел так, щоб їх добуток був найбільшим.

28.      На прямій в крапці з координатою нуль сидить бактерія. Кожну хвилину бактерія ділиться (якщо бактерія знаходилася в точці А, то через хвилину дві бактерії знаходяться в крапках з координатами А – 1 і А + 1). Якщо в одну точку попадають дві бактерії, то вони обидві гинуть. Як будуть розташовані бактерії на прямій через 2 години і 8 хвилин?

29.      Подвоїти відрізок за допомогою одного циркуля.

30.      Є 10 мішків монет.

а)        У дев'яти мішках монети справжні, кожна важить 10 г, а в одному  фальшиві, кожна важить  11 г. Як одним зважуванням за допомогою вагів важелів без гирь
визначити цей мішок?

б)        Те ж питання для випадку, коли мішків з фальшивими монетами декілька.

31.      Побудувати коло, що проходить через дві дані точки і хорда даної довжини, що відсікає від даного кола.

32.      Кульгавий слон ходить тільки на одну клітку по діагоналі. Яка кількість ходів потрібна кульгавому слонові, що б обійти всі білі клітини дошки 10х10?

33.      У краплю води, де знаходилися 1000 бактерій, посадили один вірус. Після цього кожну хвилину почало відбуватися наступне: кожен вірус знищував по одній бактерії, після чого кожна бактерія ділилася на дві бактерії, а кожен вірус  на два віруси. Чи вірно, що через деякий час не залишиться жодній бактерії?

34.      Кожен з чотирьох гномів Беня, Веня, Женя, Сеня  або завжди говорить правду, або завжди бреше. Ми почули таку розмову. Веня  Бені: «Ти брехун». Женя  Вені: «Сам ти брехун». Сеня  Жені: «Та обидва вони брехуни, (подумавши) втім, і ти теж». Хто з них говорить правду?

35.      Усередині опуклого 10-кутника відзначили 10 точок і розбили його на трикутники з вершинами в цих точках і вершинах 10- кутника. Чи може при цьому вийти 30 трикутників?

36.      По кругу стоять  числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Дозволяється узяти будь-які два сусідні числа і замість них записати на їх місця середнє арифметичне цих чисел. Чи можна, повторивши багато раз цю операцію, отримати 8 однакових чисел?

37.      Послідовні непарні числа згруповані таким чином: (1) (3,5) (7,9,11) (13,15,17,19) ...  Знайдіть суму чисел в сотій групі.

38.      Ваня, Андрій і Альоша грали в настільний теніс. Проїгравший партією всякий раз поступався місце тому, хто в ній не брав участь.  За день Ваня зіграв 10 партій, Андрій 21 партію. Скільки партій зіграв Альоша?

39.      Кожні двоє з 17 учених переписуються по одній з трьох тем. Доведіть, що є троє учених, що пишуть один одному по одній і тій же темі.

40.      При даній сумі додатних чисел добуток максимальний тоді, коли вони рівні. При даному добутку додатних чисел сума мінімальна тоді, коли ці числа рівні. Доведіть.

Задачі на розфарбування

 Одною з цікавих математичних задач є задача чотирьох фарб.

Скільки фарб потрібно, щоб розфарбувати  географічну карту, так щоб ніякі дві пограничні держави не були зафарбовані в один колір.  Не важко накреслити карту, для якої досить чотирьох фарб. Математики цілком обґрунтували, що для будь-якої карти достатньо п’ять фарб. А от чи можна стверджувати необхідно й достатньо чотирьох фарб? Відповідь на це запитання залишається відкритою.  Наявність доведення для задачі  чотирьох фарб на площині дивує багатьох математиків, адже ця задача розв’язана для складних поверхонь, для листка Мобіуса,  пляшки Клейна необхідно й достатньо шести фарб,  а для розфарбування тора(бублика) потрібно сім фарб.

Задача  1.Уявімо шахівницю, яка розфарбована в два кольори. Довести, що якщо на шахівниці провести, будь-яку пряму, котра розділила дошку на дві частини, тобто утворилися нова конфігурація шахової дошки, то для розфарбування нової конфігурації  на шахівниці досить два кольори.

Доведення. Для того щоб відновити правильне розфарбування після проведеної прямої на шахівниці досить перефарбувати одну з карт половинок, змінивши фарбу кожної області на протилежну. Таким чином отримаємо правильне розфарбування.

Задача 2. Карта на площині утворена  всілякими прямими. Довести, що для правильного розфарбування такої карти треба два кольори.

Доведення. Розглянемо площину, яка розділена однією прямою на дві частини. Зрозуміло, що для правильного розфарбування цієї карти потрібно два кольори. Проведемо другу пряму та розфарбуємо нову карту, змінивши всі кольори по одну сторону від нової прямої на протилежні. Потім проведемо третю пряму і так далі. Зрозуміло, що запропонований спосіб можна застосувати для  довільної кількості прямих. Отже методом математичної індукції ми довели, що можна розфарбувати у два кольори всі карти, що утворені прямими.

Задача 3. Карта на плоскому аркуші паперу утворена  всілякими замкненими кривими без самоперетинів та кривими, що  перетинають весь аркуш від одного краю до іншого. Довести, що для правильного розфарбування такої карти треба два кольори.

Доведення. Розглянемо папір, який розділений однією кривою на дві частини. Зрозуміло, що для правильного розфарбування цієї карти потрібно два кольори. Проведемо другу задану криву та розфарбуємо нову карту, змінивши всі кольори по одну сторону від нової прямої на протилежні. Якщо знову проведена пряма замкнена, то змінити треба кольори на протилежні у тих ділянок, що потрапили у внутрішню частину. Потім проведемо третю пряму і так далі. Зрозуміло, що запропонований спосіб можна застосувати для  довільної кількості прямих. Отже,  методом математичної індукції ми довели, що можна розфарбувати у два кольори всі карти, що утворені такими кривими.

Задача 4.  Усі точки прямої  зафарбовані у жовтий, синій , білий  кольори. Довести,що на такій прямій серед 2005 одиничних відрізків можна знайти 334 відрізки, у яких при накладанні можуть співпадати кольори кінців.

Доведення: На зафарбованій у три кольори прямій всього можна задати шість відрізків, у яких при накладанні не можуть співпадати кольори кінців. Це відрізки: (ж; ж),  (с; с), (б;б),    (ж; б), (ж; с), (с;б). Таким чином, якщо на прямій задати 2005= 6× 333+1 одиничних відрізки, то за принципом Діріхле щонайменше у 334 відрізків при накладанні можуть співпдати  кольори кінців.

Задача 5.  Вершини трикутника зафарбували жовтими та синіми кольорами. В середині цього трикутника зафарбували ще три точки жовтими та синіми кольорами. Чи можна на цих вершинах утворити:  а) 3 трикутники з синіми вершинами; б) два трикутники з однокольоровими вершинами;  в) чотирикутник з однокольоровими вершинами; г) чотирикутник з вершинами одного кольору; вершинами.

Розв’язання: Складемо таблицю можливих варіантів.

                Кількість           кількість

          жовтих вершин    синіх вершин              а)            б)            в)               г)

                  2                            4                          так          так          так            так

                  3                             3                         ні             так         ні               так

                  4                             2                         ні              так        так             так

                                                                           ------         -----     ---------           --------

                                                                          не завжди    так     не завжди      так

Відповідь: а)  не завжди;  б)так;   в)не завжди;  г)так.

Задача 6. Точки площини зафарбували жовтими та синіми кольорами. На цій площині взяли три точки А, В, С, що не лежать на одній прямій. В середині трикутника з вершинами в точках А, В, С взяли ще три точки X, Y, Z, що не лежать на одній прямій. Чи можна утворити на цих шести точках:  а) 2 трикутники з жовтими вершинами; б) три трикутники з різнокольоровими вершинами;  в) чотирикутник з вершинами одного кольору.  Усі шість точок мають властивість, жодні три точки не лежать на одній прямій.

Розв’язання: Складемо таблицю можливих варіантів.

                Кількість           кількість

          жовтих вершин    синіх вершин              а)            б)                           в)           

                  0                            6                          ні              ні                        так           

                  1                             5                         ні             так                       так

                  2                             4                         ні              так                      так     

                  3                            3                          ні              так                      ні

                  4                             2                        так            так                       так

                  5                             1                         так            так                      так

                  6                            0                         так             ні                        так   

                 

                                                                           ------         ------------           ---------        

                                                                          не завжди   не завжди     не завжди 

Відповідь:   а) не завжди;  б) не завжди;   в) не завжди. 

Задача 7. Площина пофарбована у два кольори. Довести, що знайдуться 2 точки на відстані 1 м  : а) одного кольору; б) різних кольорів.

Доведення:а)Якщо на зафарбованій у два кольори площині побудувати правильний трикутник зі стороною 1м, то із трьох його вершин у крайньому разі дві будуть одного кольору. За принципом Діріхле, адже вершин 3, а кольорів всього 2. Вершини одного кольору і утворюють шукані точки.

Б) На відстані не більше двох метрів візьмемо дві точки А та В. Нехай ці точки різного кольору. Їх завжди можна вибрати різного кольору. Побудуємо рівнобедрений трикутник АВС, АС=СВ=1 м. Колір точки С відмінний від кольору однієї із точок А,В.

Задача 8. Площина пофарбована у три кольори. Довести, що знайдуться 2 точки на відстані  1 м  одного кольору.

Доведення: Доведемо, способом від супротивного. Допустимо, що будь-які дві точки, що лежать на даній площині на відстані 1м різного кольору. Розглянемо правильний трикутник АВС зі стороною 1 м. Усі його вершини різного кольору. Нехай точка А1 симетрична А відносно прямої ВС. За припущенням вершини рівностороннього трикутника   А₁ВС різного кольору. А₁В=А₁С. Але точки А та А₁ одного кольору.

Ці міркування  показують, що якщо АА₁=3^0,5, то точки А та А₁ одного кольору. Тому всі точки кола радіуса 3^0,5з центром А одного кольору. Зрозуміло, що на цьому колі знайдуться дві точки одного кольору на відстані 1м.. Це протиріччя доводить існування двох точок , відстань між якими 1м.

Задача 9. Чи можливо шахівницю розміру 8х8 обійти конем, почавши обхід з поля h8, закінчивши його на полі а1 так, щоб на кожному полі побувати рівно один раз.

 Розв’язання: За 63 ходи кінь опиниться в чорній клітинці а1, але непарні ходи коня  завжди закінчуються на білій клітинці. Протиріччя доводить неможливість.

Відповідь: не можна.

Задача 10. Петро і Павло, не пропускаючи ходів грають у таку гру. З кожним ходом всередині білого клітинкового паперу розміром 10х10 гравець має  зафарбувати лише один білий цілоклітинковий квадрат  розміром 2х2 в чорний колір. Програє той, хто не може зафарбувати квадрат 2х2 на білому кольорі. В скільки ходів може тривати ця гра.

Розв’язання: Весь квадрат 10х10 розділити на квадрати розміром 2х2 та в ньому  зафарбувати синім кольором верхню ліву клітинку. Будь-який квадрат розміром 2х2, що може бути зафарбований у чорний колір містить лише одну  зафарбовану синю клітинку. Отже, максимальна кількість зафарбованих квадратів гравцями рівна кількості синіх клітинок, а їх 25. У цій грі виграє починаючий, якщо скористається симетричною відносно центру квадрата стратегією, зафарбувавши пешим ходом  центр симетрії.

Відповідь: до 25 ходів. 

Говорять, що фігура пофарбована в декілька кольорів, якщо кожній точці фігури приписаний певний колір. Бувають завдання, де розфарбовування вже дане, наприклад для шахівниці, бувають завдання, де розфарбовування з даними властивостями потрібно придумати, і бувають завдання, де розфарбовування використовується як ідея рішення.

Приклад 1. З шахівниці вирізували дві протилежні кутові клітки. Доведіть, що фігуру, що залишилася, не можна розрізати на «доміно» з двох кліток.

Розв’язання. Кожна фігура «доміно» містить одну білу і одну чорну клітку. Але в наший фігурі 32 чорних і 30 білих кліток (або навпаки).

Приклад 2. Чи можна всі клітини дошки 9x9 обійти конем по одному разу і повернутися в початкову клітку?

Розв’язання. Кожним ходом кінь міняє колір клітки, тому, якщо існує обхід, то число чорних кліток рівне числу білих, що невірно.

Приклад 3. Даний куб 6x6x6. Знайдіть максимально можливе число паралелепіпедів 4x1x1 (із сторонами паралельними сторонам куба), які можна помістити в цей куб без перетинів.

Ідея розв’язання.. Легко помістити 52 паралелепіпеди всередину куба. Доведемо, що не можна більше. Розіб'ємо куб на 27 кубиків 2x2x2. Розфарбуємо їх в шаховому порядку. При цьому утворюється 104 клітки одного кольору (білого) і 112 іншого (чорного). Залишилося відмітити, що кожен паралелепіпед містить дві чорних і дві білі клітки.

Відповідь: 52.

Приклад 4. Площина розфарбована в два кольори. Доведіть, що знайдуться дві точки одного кольору, відстань між якими рівна 1.

Розв’язання. Розглянемо рівносторонній трикутник із стороною 1. За принципом Дирихле принаймні дві з його трьох вершин повинні бути пофарбовані в один колір.

Завдання

У кожній клітині дошки 5x5 сидів жук. Потім кожен жук переповз на сусідню (по стороні) клітку. Доведіть, що залишилася хоч би одна порожня клітка.

3. Пряма розфарбована в два кольори. Доведіть, що знайдуться 3 крапки А, В, З одного кольору такі, що АВ = ВС.

Розфарбуйте пряму в три кольори так, щоб не можна було знайти трьох крапок А, В, З різного кольору таких, що АВ = ВС.

Площина розфарбована в три кольори. Доведіть, що знайдуться дві точки одного кольору, відстань між якими рівна 1.

Розфарбуйте площину а) у 9, б) у 7 кольорів  так, щоб не знайшлося двох точок одного кольору на відстані 1.

Чи можна замостити дошку 6x6 кліток смужками з трьох кліток і одним куточком з трьох кліток?

Чи можна замостити дошку 10 х 10 прямокутниками 4x1?

Чи можна дошку 5x7 покрити куточками з трьох кліток в декілька шарів  (щоб кожна клітка була покрита однаковим числом куточків)?

Вказівка. Розставити числа, щоб загальна сума була позитивна, а сума в кожному куточку негативна.