Оцінювальна таблиця для члена журі мат. олімпіади

Оцінювальна таблиця для члена журі математичної олімпіади
Прізвище, ім’я, по батькові члена журі:
1 подія(+1; 0; -1)	2 подія(+1; 0; -1)	3 подія(+1; 0; -1)	4 подія(+1; 0; -1)
Наведений приклад об’єкта, що відповідає означенню та форми його запису	Обґрунтовано, що існує безліч об’єктів, які відповідають означенню	Виявлені критерії  існування об’єктів з даними властивостями	Наведений приклад, що не відповідає означенню об’єкта, з відповідною формою записів
5 подія (+2; 1; 0;-1; -2)	6 подія (+2; 1;0;-1; -2)	7 подія (+2; 1;0;-1; -2)	8 подія (+2; 1;0;-1; -2)
Доведена необхідна умова існування об’єкта за виокремленими властивостями	Обґрунтовано, що існує безліч об’єктів, які не  відповідає означенню	Доведена достатня умова існування об’єкта за виокремленими властивостями	Вказані проміжки значень для усіх параметрів для існуючих об’єктів
9 подія(+3; 0; -3)	10 подія(+3; 0; -3)	11 подія(+3; 0; -3)	12 подія(+3; 0; -3)
Вказано вплив змінних параметрів на межі, розміщення, поведінку об’єкта в математичній моделі	Запропоновані альтернативні  критерії існування об’єктів з даними властивостями	Подана інтерпретація виявлених властивостей об’єкта, з множиною значень цих властивостей	Запропонована диференціація об’єктів за певними ознаками
13 подія(+4; 0; -4)	14 подія(+4; 0; -4)	15 подія(+4; 0; -4)	16 подія(+4; 0; -4)
Показана класифікація об’єктів. Запропоновані правила оптимального перетворення, розширення оцінок, продовження  та метаморфози об’єктів  в різних середовищах	Запропоновані відношення (сортування, впорядкування, групування, факторизація) між об’єктами	Запропонована порівняльна шкала (схема, діаграма) для  отриманих відношень  між об’єктами	Запропоновані  одиниці або міри для рівноваги, переваги, асиметрії, зв’язувань,  подібності між об’єктами
17 подія(+5; 0; -5)	18 подія(+5; 0; -5)	19 подія(+5; 0; -5)	20 подія(+5; 0; -5)
Виявлені інваріантні властивості об’єктів в математичних моделях  при різних перетвореннях цієї моделі.	Вказана палітра згорнутих логічних міркувань чи ланцюжків  щодо класифікації об’єктів.	Вказані напрями узагальнення за відповідними параметрами об’єкта	Запропоновані виграшні стратегії поведінки при пошуках об’єктів  з заданими властивостями, параметрами.
Всього плюсів:	Всього нулів:	Всього мінусів:	Остаточна сума:

Опубліковано Сергій Негода 

Каталог "Нерівності"

НЕЛІНІЙНІ НЕРІВНОСТІ 

З ДЕКІЛЬКОМА ЗМІННИМИ

Довести.

1. a^p+b^p < c^p, якщо p>2,a>0, b>0, c>0, a²+b²=c².

2. c^p < a^p+b^p, якщо p<2, a>0, b>0, c>0, a²+b²=c².

3. (a+b)^2/3 < a^2/3+b^2/3, якщо a>0, b>0.

4. a+b+c ≤ ^ab/_c+^bc/_a+^ca/_b, якщо a>0, b>0, c>0.

5. (a^0,5+b^0,5 +c^0,5)a^0,5b^0,5c^0,5≤ a²+b² +c²   , якщо a ≥0, b ≥0, c ≥0.

6.  5a^0,5b^0,5 +5b^0,5c^0,5  +7a^0,5c^0,5≤ 7a+4b+7c, якщо a ≥0, b ≥0, c ≥0.

7.  2a²b²c²(2^0,5ab + 2^0,5ac+cb) ≤ 16a⁸+b⁸ +c⁸.

8. ^(a+b)/(_a²+_b²)+^(b+c)/(_b²+_c²)+^(a+c)/(_a²+_c²)≤¹/_a+¹/_b+¹/_c, якщо a>0, b>0, c>0.

9. ⁹/_a+b+c ≤  ²/_(a+b) + ²/_(b+c) +²/_(a+c), якщо a>0, b>0, c>0.

10.  a< 2a³+2a²+1,   якщо a≥0.

11.  a² -2a^0,5 < 2+a³,   якщо a≥0.

12. ¹/₂ ≤ ¹/_(a+1) + ¹/_(a+2) +¹/_(a+3)  + … + ¹/_2a , якщо a- натуральне число.

13. ¹/₉ +¹/₂₅ + …+¹/_(2a+2)²  < ¹/₄, якщо a- натуральне число.

14. b<ac+^c/_(c-1),  якщо a^0,5 +1≥b,  c>1.

15.  a^0,5b^0,5 +c^0,5d^0,5 ≤(a+c)(b+d)^0,5, якщо a ≥0, b ≥0, c ≥0, d ≥0.

16. 2¹/₉ <a^0,5/(b+c)^0,5+b^0,5/(a+c)^0,5+b^0,5/(a+c)^0,5, якщо a>0, b>0, c>0.   

17. (4a+1)^0,5+(4b+1)^0,5+(4c+1)^0,5<5, якщо a>0, b>0, c>0, a+b+c=1.   

18. 4lnx ≤ x²-1/x, якщо x>1.

19. 2ln(x+(x²+1)^0,5) ≤  e^x - e^-x, якщо x ≥0,  e ®(1+1/x)^x, x®oo.

20. (a+b)(a-b) ≤ a²+b².

21.¹/₂<sina/(1+sina) +cosa/(1+cosa)<⁶/₇;

22. ²/₃<sin²a/(1+cos²a) +cos²a/(1+sin²a)<1;

23.   -1≤ sin³a+cos³a≤ 1, якщо a- дійсне число.

24.  0,5 ≤ sin⁴a+cos⁴a≤ 1, якщо a- дійсне число.

25.   -1≤ sin⁵a+cos⁵a≤ 1, якщо a- дійсне число.

26.   0,25≤ sin⁶a+cos⁶a≤1, якщо a- дійсне число.

27.   0,125≤ sin⁸a+cos⁸a≤1, якщо a- дійсне число.

28.   0,0625≤ sin¹⁰a+cos¹⁰a≤1, якщо a- дійсне число.

29.  -1≤ sin^2n-1a+cos^2n-1a≤ 1, якщо n - натуральне число.

30.  ¹/₂^n-1≤ sin²ⁿa+cos²ⁿa≤ 1, якщо n - натуральне число.

31. sin²a +4cos²a -2sin2a -3sina +4cosa +2 ≥ 0,  якщо a - дійсне число.

32.  2sin2a- 2^0,5sin2a + 2^0,5cos2a+3 ≥ 0,  якщо a - дійсне число.

33.  cos4a- 4sin²a ≥  2 sin2acosa,  якщо a - дійсне число.

34. 6a²b²  ≤ a⁴ +2a³b  +2ab ³ + b⁴ , якщо a ≥0, b ≥0.

35.  a⁴ -2a³b + 2a²b² -2ab³ + b⁴≥0, якщо a ≥0, b ≥0.

36.  2sin²a ≥ 2sin2a-1,  якщо a - дійсне число.

37. sinacosbcosc + cosasinbsinc ≤ 1,  якщо a, b, c - дійснi числa.

38. (sin(cos(a) ≤ (cos(sin(a)) ,  якщо a - дійсне число.

39.  a²+3b²  +6c² +2ab -2ac -6abc > 0, якщо a²+b²+c²≠0. 

40.  |a+b| ≥ 2 ,   |a+1/a| ≥ 2 ,  якщо |ab|=1, a, b - дійснi числa.

41.  |a/b+b/a| ≥ 2,  якщо a, b - дійснi числa.

42.  a²+b² ≥ 2ab,  якщо a, b - дійснi числa.

43.  a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+…+a_m ≥ m,  якщо  a₁∙a₂∙a₃∙a₄∙a₅∙…∙a_m =1

44.  ab+bc+ac ≤ a²+b²+c²,  якщо a, b, c - дійснi числa.

45.  3≤ a/b+b/c+c/a ,  якщо a, b, c – додатні  дійснi числa.

46.  a/b+b/c+c/a ≤ -3,  якщо a, b, c – від’ємні дійснi числa.

47. ^c/_a < ^(c+d)/_(a+b) < ^b/_d  , якщо a >0, b >0, c >0, d >0.  

 48.  (ab)^0,5+1≤  (a+1)^0,5(b+1)^0,5 ≤  1+(ab)^0,5/_min{a,b}, якщо a >0, b >0,

49. (abc)^1/3+1≤ (a+1)^1/3(b+1)^1/3(c+1)^1/3≤ 1+(abc) ^1/3/_min{a,b,c}, якщо a >0, b >0, c >0.

50.  ²/(¹/_a+¹/_b) ≤ (abc)^1/2 ≤ (a+b)/₂ ≤ ((a²+b²)/₂ )^0,5≤ ((a^k+b^k)/₂)^1/k

, якщо a >0, b >0.

51.  ³/(¹/_a+¹/_b+¹/_c) ≤ (abc)^1/3 ≤ (a+b+c)/₃ ≤ ((a²+b²+c²)/₃ )^0,5≤ ((a^k+b^k+c^k)/₃ )^1/k

, якщо a >0, b >0, c >0.

52.    3abc ≤ a³+b³+c³ ,  якщо a +b + c >0.

53. -2^0,5 ≤  sina+cosa ≤ 2^0,5, якщо a- дійсне число.

54. (1+¹/_a)^a > (1+¹/_a^a) ,  якщо 0<a <1, a>2.

55. (1+¹/_a)^a < (1+¹/_a^a) ,  якщо 1<a <2.  

56. ln(1+a)<a,  , якщо a >0.

57.   2a/(a+2) < ln(1+a)<a, якщо a >0.

58. 2abln(^b/_a)< b² – a², якщо 0<a <b.

59. 2 ln(a)<a²-1, якщо a >1.

60.    ln(1+a)/ln(a) < ln(a)/ln(a-1) , якщо a >2. 

61. Міні-максні подвійні нерівності Вінницького

для модуля різниці двох дійсних додатних  чисел

Нехай  а та b, с - дійсні додатні числа, при цьому c >1.  

Довести, що функція модуля різниці двох дійсних додатних  чисел

V(a, b) = max{a;b}-min{a;b} =|a-b|

має властивості:

1^o. 0 < max{a;b}-min{a;b} =|a-b| < ^min{a;b}/_с,   

  якщо  (1-¹/_c)max{a;b} < min{a;b} < max{a;b}; c>1

 2^o.   ^min{a;b}/_с < max{a;b}-min{a;b} =|a-b|< min{a;b},  

        якщо  (¹/₂)max{a;b} <  min{a;b} < (1-¹/_c)max{a;b}, та c>2.

 3^o.   min{a;b} < max{a;b}-min{a;b} =|a-b|< 0,5(max{a;b}+min{a;b})=0,5(a+b),  

        якщо max{a;b}/3< min{a;b} <0,5max{a;b};

4^o.   0,5(max{a;b}+min{a;b}) =0,5(a+b) < max{a;b}-min{a;b} =|a-b| < max{a;b},   

       якщо 0< min{a;b} < max{a;b}/3;

  5^o.  (1-¹/_c)max{a;b}  < max{a;b}-min{a;b} =|a-b|< max{a;b},   

     якщо 0< min{a;b} < max{a;b}/c   та  c>1.